leo020630의 블로그

오래 눈여겨둔 문제이자 Class 9를 취득하기 위한 마지막 문제였다. 문제 요약 선분 \(N\)개가 주어진다. 이 선분들은 서로 교차하거나 만나지 않는다. 공은 \((x_0, \infty) \)에서 떨어지며, 선분을 만나면 선분을 따라 이동한다. 공의 최종 \(x\)좌표를 구하여라. 풀이 우선, 자명하게 각 선분의 다음 선분, 즉 어떤 선분에 떨어졌을 때 다음으로 도착하게 되는 선분은 정해져 있으며, 사이클을 이루지 않는다. 만약 각 선분의 다음 선분을 구한다면 간단한 시뮬레이션으로 문제를 해결할 수 있다. 따라서 문제의 핵심은 다음 선분을 구하는 것이다. 이를 위해서는 어떤 기준을 세워서 선분을 탐색하고 싶지만, 쉽지 않다. 두 선분의 우열을 두 선분만으로 구분할 수 없는 경우가 있기 때문이다. 구분..

문제 요약 \(N\)개의 도시가 일렬로 있다. 특정 도시에서 시작해, 인접한 도시로 이동하거나 특정 도시의 관광지를 방문하는 행동을 최대 \(d\)번 할 수 있다. 한 도시의 관광지를 여러 번 방문할 수는 없을 때, 방문할 수 있는 관광지의 최대 개수를 구하여라. 풀이 방향을 두 번 이상 꺾는 것이 최적이 아님은 쉽게 알 수 있다. 따라서 왼쪽으로 갔다 오른쪽으로 가거나, 오른쪽으로 갔다 왼쪽으로 가는 경우가 있다. 한 경우를 해결하면 남은 하나는 뒤집은 후 똑같이 해결하면 되므로 전자의 경우만 보도록 하자. \(x \leq st \leq y\)에 대해, \(st - x - y\) 순으로 방문했다고 하자. 이동하는 데에 \(st+y-2x\)만큼이 필요하므로 \([x,y]\) 구간에서 고를 수 있는 도시의..

문제 요약 두 점과 x축에 평행한 레일이 있다. 각 레일에서 한 점을 선택한 후 세 점으로 만들 수 있는 삼각형의 넓이의 최댓값의 최솟값을 구하여라. 풀이 별의 배치는 선분 \(AB\)에 가장 가깝게 하면 된다. 즉, 교차하면 교점 위에, 아니면 왼쪽 또는 오른쪽 끝에 두면 된다. 자세한 증명은 하지 않았기 때문에 생략하도록 하겠다. 최대 넓이를 가지는 삼각형은 convex hull 위에 있다. 따라서, 이 문제는 convex hull 위의 삼각형 중 최대 넓이를 가지는 것을 구하는 문제가 된다. 우선 한 점을 고정하고 다른 한 점을 반시계 방향으로 이동시킨다고 생각해보자. 그러면 이 선분과 가장 먼 점 2개는 선분의 이동 방향을 따라 캘리퍼스처럼 움직여줄 수 있다. 따라서 \(O(N^2)\)에 문제를 ..

A. Indirect Sort (0:01, +) \(A_1\)이 1이어야 한다. B. Maximum Substring (0:05, +) 어떤 부분문자열에 두 문자가 하나 이상 있으면 그냥 쭉 늘려주는 것이 최적이다. 따라서 전체 문자열의 값과 같은 문자가 연속으로 가장 길게 있는 경우만 비교해주면 된다. C. Complementary XOR (0:20, +) 모든 숫자가 0인 경우부터 거꾸로 생각해보자. 이 상태에서 연산을 한 번 적용하면 A와 B의 모든 원소가 다른 값이 되고, 한번 더 적용하면 다시 A와 B의 모든 원소가 같아진다. 따라서 가능한 경우는 A와 B가 모두 같거나 모두 다른 경우이다. 해를 찾는 방법은 A를 우선 모두 1로 만들자. 이러면 B가 모두 0이거나 모두 1인데, 모두 0이면 1..

문제 요약 풍선 \(N\)개가 있다. 각 풍선은 고도 \(L_i\)이하에서 불 수 있고, 불고 나면 고도가 \(D_i\)만큼 상승한다. 풍선은 한 번에 하나만 달 수 있다. 이 때, 불 수 있는 풍선의 최대 개수를 구하여라. 풀이 이런 문제는 원소들에 순서를 부여하려고 시도해보는 것이 도움이 된다. 다만, \(L_i\)나 \(D_i\)를 기준으로 쓰려고 하면 어렵지 않게 반례를 찾을 수 있다. \((L_a,D_a)\), \((L_b,D_b)\)가 있다고 할 때, 반드시 a를 먼저 사용하고 b를 사용해야 하는 상황은 아래와 같다. \(D_b > L_a, D_a \leq L_b\) 즉, b를 먼저 사용하면 a를 사용하지 못하고 a를 먼저 사용하면 b를 사용할 수 있는 경우이다. 양변을 더하면 \(D_a + ..

꽤 오래 전부터 보던 문제인데, 도저히 모르겠어 태그를 까고 생각해보았다. 문제 요약 길 또는 장애물로 이루어진 격자가 주어진다. 이 때 장애물이나 시작, 끝 지점을 포함하지 않으면서 시작점에서 끝점으로 가는 경로를 차단하도록 설치할 수 있는 가장 작은 정사각형 장애물의 크기와 위치를 구하시오. 풀이 가는 경로가 벽으로 생각했을 때 잇는 경로로 바뀐다는 duality는 최근 여러 문제에서 등장한 바 있다. ICPC Sinchon Camp Contest에도 나왔고, 최근에는 코포에서도 한번 본 것 같다. 따라서, 이 문제에서도 같은 방법으로 접근해보자. 뭔가 '가장 작은' 정사각형의 크기를 구하는 것이므로 이분 탐색을 쓰고 싶지만, 그럴 수 없다. 조금만 생각해보면, 조건을 만족하는 장애물의 크기는 연속적..

시험기간 탓에 멈춰 있던 Class 9 밀기를 다시 시작했다. 그 동안도 몇 개 푼 문제가 있긴 한데, 좋은 풀이가 많길래 굳이 올리지 않았다. 문제 요약 무방향 그래프가 주어진다. 이 때, 어느 간선을 제거해도 그래프가 하나의 컴포넌트가 되기 위해 추가해야 하는 간선의 최소 개수를 구하고 실례를 구성하시오. 풀이 우선, 제거했을 때 그래프가 나누어지는 간선은 단절선이다. 따라서 단절선이 아닌 간선들은 두 정점을 union한다고 생각하고 그래프를 구성하면 트리가 된다. 단절선만 남긴 그래프이니 이는 당연하다. 단절선을 구할 때 멀티 에지가 들어오는 것만 조심하면 된다. 이제 트리에서 최소한의 간선을 추가해 잘 이어주는 것이 남았다. 개수는 대충 생각해보면 \(\lceil \frac{l}{2} \rceil..

A. Factorise N+M (0:00, +) 홀수면 3, 짝수면 2를 출력하면 된다. B. Jumbo Extra Cheese 2 (0:05, +) 둘 중 작은 쪽을 가로로 쓰는게 항상 이득이고, 세로는 정렬한 모양으로 쓰는 것이 이득이다. 증명은 잘 모르겠다. C. Bricks and Bags (0:16, +) 한쪽 끝에 2개빼고 다 넣고, 남은 2개에 하나씩 넣는게 최적이다. 역시 증명은 잘 모르겠다. 이름이 헷갈려서 해석이 오래 걸렸다. 그냥 Alice Bob 쓰면 될 것을.. D. Knowledge Cards (0:40, +1) 새 카드를 꺼낸 후 보드에 빈 자리가 하나라도 있으면 잘 옮겨줄 수 있다. 구현을 이상하게 해서 1번 틀렸다. E. Hanging Hearts (1:02,+1) 잘 생각..

매우 유명한 문제이다. 당연히 좋은 풀이글도 많고 다양한 풀이가 존재하지만, 좋은 문제라 정리하는 것이 의미가 있을 것 같아 따로 정리해본다. 더불어, LIS를 \(O(NlogN)\)으로 해결하는 방법에 대한 튜토리얼 글들을 보면 원리를 제대로 설명하지 않은 글들이 많아 이를 정확히 설명하고, 이 문제의 해법까지 이어가는 것이 이 글의 목표이다. 문제 요약 서로 다른 양의 정수로 이루어진 \(2 \times N\) 또는 \(3 \times N\) 행렬이 주어질 때, 각 행에서의 등수가 같도록 뽑을 수 있는 열의 최대 개수를 구하시오. 풀이 가장 윗 행을 기준으로 정렬하고 나면 \(M = 2\)인 경우 LIS (Longest Increasing Sequence), \(M = 3\)인 경우 Pair LIS ..

문제 요약 정점 \(N \leq 1000\) 개로 이루어진 트리가 있을 때, 루트를 제외한 정점 \(K \leq 100\)개를 선택해 순서대로 방문할 것이다. 이 때, 정점 간 이동은 항상 최단거리로 진행한다. 정점 \(K\)개와 순서를 잘 정해 이동거리의 합이 최대가 되게 하여라. 풀이 문제 조건이 독특해 약간 헤멨다. 우선, 제한이 적으므로 \(dp[v][i]\)를 \(v\)번 정점을 루트로 하는 서브트리에서 \(i\)개를 선택해 나올 수 있는 최적해로 정의하자. 이제 각 정점에서 해야 할 일은 자식 노드들의 DP값을 잘 합쳐주는 것이다. 이는 \(dp[v][i]\)를 \(dp[v][j]\)와 \(dp[c][i-j]\)로 분해해서 생각해주면 된다. 두 값은 이미 정해져 있으니 더해주어야 할 값은 두 ..